图书馆的角落，仿佛变成了一个与世隔绝的领域，一个只属于许燃和简瑶的【思维殿堂】。
“所以，我们的图G，顶点集是PG(2，5)的31个点。
两个顶点相邻，当且仅当它们在PG(2，5)中‘不共线’。”
许燃迅速地做出了总结，思路清晰。
“接下来，我们要验证两个关键性质。”
他看向简瑶，“第一，这个图G中，是否存在一个K5子图，也就是‘5个顶点互相相邻’的团？”
这个问题，如果用暴力去验证，对于一个31阶的图来说，无异于大海捞针。
但现在，有了代数和几何的武器，一切都变得不同。
简瑶的心思已经完全沉浸了进去。
她那天才的大脑在许燃的引导下，爆发出惊人的能量。
“等一下！”
她突然伸出手指，点在“不共线”三个字上，美眸中闪烁着激动的光芒，“如果五个顶点A，B，C，D，E构成一个K5子图，就意味着它们两两之间都‘不共线’。”
“但是！”
她的语速开始加快，“在射影平面PG(2，-，5)中，任意两个点（比如A和B）都确定一条唯一的线L_AB。那么，第三个点C，它既不能在L_AB上，也不能在L_AC上，也不能在L_AD上……”
她说到这里，突然卡住了。思路似乎走进了一条死胡同。
许燃没有直接给她答案，而是换了一种问法，像一个循循善诱的导师。
“换个角度想。我们来证明它的逆否命题。如果我们任意取出五个点，能不能证明，它们之中，必有两点是‘共线’的？”
这个问题像一把钥匙，瞬间捅破了那层窗户纸！
“我明白了！”简瑶的呼吸变得急促，“我们任取五个点A，B，C，D，E。先看A，B，C三点。如果它们共线，那结论就成立了，我们找到了‘共线’的两个点（甚至三个）。”
“那如果它们不共线呢？”许燃追问。
“如果A，B，C不共线，那么它们就能确定三条不同的直线L_AB， L_AC， L_BC。
这三条直线，在PG(2，5)中……”
简瑶一边说，一边快速地在纸上画着示意图，“……会交于A，B，C三个点。”
“现在，我们放入第四个点D。
如果D在这三条线中的任意一条上，比如在L_AB上，那么A，B，D就共线，结论成立。”
“如果D不在这三条线的任何一条上呢？”许燃的声音带着一种引人入胜的魔力。
“那么……D和A，B，C三点，就能确定三条新的线L_AD， L_BD， L_CD。
现在我们一共有六条线了！”
简瑶感觉自己的大脑在高速燃烧，“这六条线，最多会产生C(6，2)=15个交点，但很多是重合的……
不对不对，这个思路太复杂了！”
她有些懊恼地抓了抓头发。
许燃只是安静地看着她，没有打断。他知道，这是天才在突破自我时，必经的“阵痛”。
过了足足一分钟，简瑶的眼睛，猛地亮了起来！
“是‘鸽巢原理’！”
她激动地喊了出来，声音都有些发颤，“在PG(2，5)里，每一条线上，有q+1=6个点！而任何一个点，都恰好在q+1=6条线上！”
“我们来看点D！”
她指着草稿纸，“通过点D，可以画出6条不同的直线！
这6条直线，要把除了D以外的所有点都覆盖掉。”
“而我们还剩下A，B，C，E四个点！不对……思路又乱了！”
看着简瑶陷入苦战，许燃终于决定，轻轻地推她一把。
“不要去数线的数量。”
他轻声说，“回到最基础的性质，两点确定一条直线。”
“我们有A，B，C，D四个点，假设它们之中任意三点都不共线。
它们能确定C(4，2)=6条不同的直线。”
“现在，我们放入第五个点，E。”
“E点，它有多少种可能的位置？”
“如果E落在这六条直线中的任何一条上，比如L_AB，那么E，A，B就共线了，证毕。”
“如果E不落在这六条直线的任何一条上呢？这可能吗？”
许燃问出了最后一个，也是最关键的问题。
简瑶的大脑，如同被一道闪电劈中！
“不可能！”
她失声喊道，“PG(2，5)中，任何一个点都必须在6条线上！
如果E不在这六条线中的任何一条上，那么过E和A的直线L_EA，就是一条新的线。
过E和B的直线L_EB，也是一条新的线……
这……这就和‘两点确定唯一一条直线’的公理矛盾了！”
她激动得脸颊通红，指着自己的推导，像个得到了糖果的孩子。
“所以，任意五个点，必然有至少三个点是共线的！
既然有三点共线，那它们在我们的图G里，就必然不是一个K5子图！
因为共线的点之间没有边！”
“结论：我们的图G，无K5子图！”
当她得出这个结论时，一种前所未有的，巨大而纯粹的成就感，淹没了她。
这比她过去解出任何一道难题，都要快乐！
因为这不是她一个人的胜利，这是她和许燃，两个人思想碰撞、共同铸剑的结果！
她抬起头，看向身边那个平静的少年，美眸中，水光流转，异彩涟涟。
“下一个，证明它的独立数，不大于42……”
许燃的声音没有停歇，将她从那异样的情绪中拉了回来，带入了下一个更深邃的挑战。
“这个图，只有31个顶点，独立数怎么可能大于42？”
简瑶下意识地问，随即反应过来，“哦，你说的是拉姆齐数R(5，5)！
我们现在构造出的这个图，它甚至连R(4，5)的反例都算不上！”
她的思维，已经被许燃彻底带到了一个全新的高度。
许燃摇了摇头。
“这个模型，只是一个玩具。
一个让我们理解‘代数图论’思想的玩具。”
“但这个思想，可以推广。”
他的笔尖，在PG(2，q)的那个q上，重重一点。
“如果，我们把这个q，换成别的数字呢？
比如，q=41？
一个素数？”
“PG(2，41)……它的点数是412+41+1 = 1723个！”简瑶倒吸一口凉气。
“没错，所以简单的射影平面不够。”
许燃的目光，变得如同黑洞般深邃，“我们需要更复杂的代数结构。
比如，用‘二次剩余’去定义‘相邻’关系。”
他开始在草稿纸上，写下一连串简瑶闻所未闻的概念。
【佩利图P(q)】
“这又是什么？”
简瑶感觉自己像个好奇宝宝，完全被许燃牵着鼻子走，但她心甘情愿。
“一个更纯粹的代数怪物。”
许燃的眼睛里闪着光。
“它的构造更简单粗暴。取一个素数q，并且要求q模4余1。”
“图的顶点，就是有限域GF(q)里的q个元素，从0到q-1。”
“两个顶点x和y之间有没有边，只看一件事。”
他顿了顿，用红笔重重写下两个字。
“‘差值’。”
“如果x-y是GF(q)里的‘二次剩余’，那么它们之间就有边。
如果不是，就没有。”
“二次剩余？”
这个词简瑶知道，就是指一个数在模q的意义下，能被写成另一个数的平方。
比如在模5的意义下，1和4就是二次剩余，因为1=12=42，4=22=32。
“对。”
许燃点头，“比如，我们直接攻击R(5，5)的下界，构造一个41阶的图。
取q=41，因为它是一个素数，且41=4*10+1。”
“我们构造佩利图P(41)。”
“它的顶点，就是0， 1， 2，...， 40。”
“顶点2和顶点5之间有没有边？”许燃看向简瑶。
“5-2=3，我们需要判断3是不是模41的二次剩余……”简瑶迅速心算，却发现这并不容易。
“很难算，对吧？”
许燃笑了笑，“但数学的美妙在于，我们不需要一个一个去算。
高斯早就为我们铺好了路。”